আমার খুব প্রিয় একজন মানুষের খুব প্রিয় একটি সংখ্যা হলো ৫ । .সেই থেকে ৫ আমারও খুব প্রিয় । অবশ্য আমার সব থেকে প্রিয় পূর্ণ সংখ্যা হলো ১১ ।
এটা সম্বন্ধে আবার কখনও বলা যাবে। আজ ৫ নিয়েই থাকি। ৫ সম্পর্কে আগে অল্প কিছু জানতাম, জানতাম-পিথাগোরাস বলতেন- ৫ হলো বিবাহ সংখ্যা। (পিথাগোরাস বলতেন ৩ হল নারী সংখ্যা আর ২ হলো পুরুষ । ২ আর ৩ মিলে ৫ হয়, এইজন্যেই বোধহয় ৫ কে বলতেন বিবাহ সংখ্যা !)।. তো, এটা জানার পর আমি ঠিক করেছিলাম বিয়ে করব ৫৫ বছর বয়সে, কারণ ৫ x ১১ = ৫৫ (কিন্তু তা আর হয়নি, কারন ঐ এগারোতেই আটকে গেছিলাম)
সব জায়গায় প্রচণ্ড আত্মবিশ্বাসের সাথে সেটা প্রচারও করতাম। যাই হোক, সেই অবস্থান থেকে কিছুটা মনে হয় নড়বড়ে হয়েছি! আচ্ছা, এবারে ৫ এবং তার বাচ্চা-কাচ্চাদের নিয়ে কিছু বলা যাক । (১০,১৫,২০,২৫-- ৫ নিজে বাদে ৫ এর এই বাকিসব গুণীতককে আমি ৫ এর বাচ্চা বলি!)
One Day International ক্রিকেট ম্যাচে Required Run Rate হিসাব:
ধরা যাক বাংলাদেশের সাথে পাকিস্তানের খেলা। বাংলাদেশ আগে ব্যাট করে ৫০ ওভারে ৪১২ রান করল (সামান্য সুখকল্পনা) !
সুতরাং জিততে হলে পাকিস্তানের টার্গেট ৪১৩ রান । তাহলে Required Run Rate হবে ৪১৩ / ৫০ । .এই ভাগফলটাকে খুব দ্রুত মনে মনে হিসাব করা যায়। দেখুন, ৪১৩ x ২ = ৮২৬ । .সুতরাং উত্তর হবে ৮.২৬ । .অর্থাৎ টার্গেট রানটাকে ২ দিয়ে গুণ দাও, তারপর দশমিক ২ ঘর বামে সরিয়ে নাও, শেষ !
আবার বলি, টার্গেট যদি হয় ২৪৩ । Required Run Rate হবে ৪.৮৬ । ২৪৩ x ২ = ৪৮৬, তারপর দশমিকটা শেষ থেকে দুই ঘর বাঁয়ে সরিয়েছি।
এটা কেন হলো, তার কারণটা খুবই সোজা। ৫০ দিয়ে ভাগ করা মানেই হলো ২ দিয়ে গুণ করে ১০০ দিয়ে ভাগ করা।
ক / ৫০ = ক x ২ / ১০০ ।
এটা বুঝলে কোন সংখ্যাকে ৫ দিয়ে, ৫০০ দিয়ে, ৫০০০ দিয়ে ভাগ করাও তেমন কোন ব্যাপার না ।
৫ দিয়ে ভাগ করার সময় ২ দিয়ে গুণ করে দশমিকটাকে এক ঘর বামে সরাতে হবে ( ক / ৫ = ক x ২ / ১০ ) ।
৫০ দিয়ে ভাগ করার সময় ২ দিয়ে গুণ করে দশমিকটাকে দুই ঘর বামে সরাতে হবে ( ক / ৫০ = ক x ২ / ১০০ ) ।
৫০০ দিয়ে ভাগ করার সময় ২ দিয়ে গুণ করে দশমিকটাকে তিন ঘর বামে সরাতে হবে ( ক / ৫০০ = ক x ২ / ১০০০ ) ।
সুতরাং ১২৩৪১২৩২ / ৫ = ২৪৬৮২৪৬.৪
এবার ৫ দিয়ে গুণ:
যদি বলি ২৪৮৬ x ৫ = ? খুব দ্রুত মুখে মুখে বলতে পারবে?
এটাও আসলে কোন ব্যাপার না। অর্ধেক করে শেষে শূন্য লাগিয়ে দাও।
অর্থাৎ ২৪৮৬ x ৫ = ১২৪৩০ । দেখ, ১২ x ৫ = ৬ ০ [১২ এর অর্ধেক ৬, তার শেষে শূন্য।]
এটা কেন হলো? ৫ দিয়ে গূণ ক x ৫ = (ক / ২) x ১০
তাহলে, এখন তোমরা জানো, ২৩২ x ৫ = ১১৬০
কী, ২৩২ কে অর্ধেক করতে কষ্ট হচ্ছে? ছোট ছোট অংশ আলাদা করে নিন । যেমন ২ এর অর্ধেক ১, আর ৩২ এর অর্ধেক ১৬।
আবার ধরুন ৩৩২ x ৫ = ? এটা বের করার সময় ৩৩২ কে কিভাবে অর্ধেক করবেন? আমি যেটা করি তা হলো-
তিনশ এর অর্ধেক দেড়শ আর বত্রিশের অর্ধেক ষোল মোট (১৫০+১৬)=১৬৬ ।
এরই মধ্যে অনেকের মনে প্রশ্ন আসতে শুরু করেছে- মূল সংখ্যাটা যদি বিজোড় হয় তখন তাকে ৫ দিয়ে কিভাবে গুণ করা হবে?
যেমনঃ ২৪৮৭ x ৫ = ? এবার তো শেষে আর ০ থাকবে না! এটাও আসলে খুব কঠিন কিছু না- এবারে মূলমন্ত্র হলো-
আগের সংখ্যাটাকে অর্ধেক করে শেষে ৫ লাগিয়ে দিন।
যেমনঃ ২৪৮৭ এর আগের সংখ্যা হলো ২৪৮৬, এর অর্ধেক ১২৪৩ ;
সুতরাং ২৪৮৭ x ৫ = ১২৪৩ ৫
এমন কেন হলো সেটাও মজার। ২৪৮৭ টা ৫ মানে হলো ২৪৮৬ টা ৫ আর একটা অতিরিক্ত ৫।
এখন ২৪৮৬ x ৫= ১২৪৩০ , সাথে আরও একটা ৫ মিলে ১২৪৩৫
কৃতজ্ঞতা সেই রিকশাওয়ালাকে- উপরে দেখানো ৫ দিয়ে গুণের নিয়মটা শিখেছিলাম কুষ্টিয়ার এক রিকশাওয়ালার কাছ থেকে। একদিন কুষ্টিয়াতে রিকশা থেকে নামব, দেখি- সেই রিকশাওয়ালা টাকার হিসাব করছে। তার কাছে কিভাবে যেন অনেকগুলো ৫ টাকার নোট জমেছে। সে গুনে দেখল ২৪ টা। এবার সে হিসাব করছে এইভাবে- ২ টা ৫ টাকায় হয় ১০ টাকা। এবার ২৪ টা ৫ টাকাকে সে দুইটা দুইটা করে ১২টা জোড়া বানিয়ে ফেলল। একটা জোড়ায় ১০ টাকা, তাহলে ১২ টা অমন ১০ টাকায় ১২০ টাকা হবে, ১০ এর হিসাব সবাই পারে। আমি তো পুরো মুগ্ধ ! ব্যস, শিখে গেলাম, আর তারপর বুঝে গেলাম ৫ দিয়ে গুণ করা যদি হয় ২ দিয়ে ভাগ করে ১০ দিয়ে গুণ, তাহলে ৫ দিয়ে ভাগ করা হবে ২ দিয়ে গুণ করে ১০ দিয়ে ভাগ!
এভাবে ভাগটাও শিখে গেলাম। আমি অবশ্যই কৃতজ্ঞ নাম-পরিচয় না জানা সেই রিকশাওয়ালার কাছে। আপুনাদেরকে এই সুযোগে একটা কথা বলে রাখি। জীবনে কোনদিন কাউকে বা কোনকিছুকে তুচ্ছ ভাববেন না ! প্রত্যেকটা মানুষ, প্রত্যেকটা জীব, এমনকি প্রত্যেকটা জড়বস্তুও অসীম জ্ঞানের আধার! আপনি বড় হতে পারবেন শুধু একভাবেই, যদি আপনি অন্যদেরকে বড় করতে জানেন, বড় ভাবতে জানেন।
৫ এর মেয়ে-বাচ্চাদের বর্গ:
৫ এর বাচ্চাগুলো অর্থাৎ গুণিতকগুলো দুই ধরনের হয়। কারও বা শেষে থাকে ০, আর কারও শেষে ৫ । .যেই বাচ্চাগুলোর শেষে ৫ থাকে যেমন ১৫,২৫,৩৫,৪৫ এদের আমি বলি ৫ এর মেয়ে বাচ্চা (৫ নিজে মা তো, তাই !)।. এসব সংখ্যা বর্গ করাটা বেশ মজার। এটা আজকাল বিভিন্ন বইয়েই পাওয়া যায়। কিন্তু আমি এটা নিজে নিজেই বের করেছিলাম, কিভাবে করেছিলাম সেই গল্পটাও এবার বলব। আমি সবসময়ই মনে করি, ভ্রমণের সময় যেখানে যাচ্ছি, সেটা যেমন গুরুত্বপূর্ণ- কোন রাস্তা দিয়ে যাচ্ছি, সেটাও তেমনই গুরুত্বপূর্ণ। আগে শেখাই নিয়মটা ।
ভালো করে দেখ-
৫ এর বর্গ - ২৫
১ ৫ এর বর্গ- ২ ২৫ -----> (১ x ২ = ২ )
২ ৫ এর বর্গ- ৬ ২৫ -----> (২ x ৩ = ৬ )
৩ ৫ এর বর্গ- ১২ ২৫ -----> (৩ x ৪ = ১২ )
৪ ৫ এর বর্গ- ২০ ২৫ -----> (৪ x ৫ = ২০ )
৫ ৫ এর বর্গ- ৩০ ২৫ -----> (৫ x ৬ = ৩০ )
৬ ৫ এর বর্গ- ৪২ ২৫ -----> (৬ x ৭ = ৪২ )
এটা কি বুঝতে পারছ যে, কোন সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে তার বর্গের শেষে সবসময় ২৫ থাকে ? তাহলে ৩৫ এর ক্ষেত্রে শেষের ৫ এর জন্য হলো ২৫। .তার মানে ৩ এর জন্য হয়েছে সামনের ১২। .কিন্তু ৩ এর থেকে ১২ কিভাবে পাওয়া যাবে? এটা হলো (৩ x ৩ এর পরের সংখ্যা)। দেখ ৩ x ৪ =১২ ।
এবার তাহলে ৬৫ এর দিকে তাকান। ৫ এর জন্য বর্গের শেষে হবে ২৫। .আর সামনে ৬ x ৭ = ৪২ । .তো শেষ! ৬৫ এর বর্গ ৪২২৫। .এখন কি বলতে পারবে ৮৫ এর বর্গ কত? যদি বুঝে থাকেন, আপনার উত্তর হবে ৭২ ২৫ ।
এটার গাণিতিক প্রমাণটাও সোজা। পৃথিবীর যেকোন সংখ্যা যাদের শেষে ৫ আছে তাদেরকে লেখা যায় ( ১০ক + ৫ ) আকারে। যেমন ৬৫ = ১০ x ৬ + ৫ , ২৩৪৫ = ১০ x ২৩৪ + ৫ ।. এখন,
(১০ক + ৫)^২ = ১০০ ক^২ + ২ x ১০ক x ৫+ ৫ ^২
= ১০০ ক^২ + ১০০ ক + ২৫
= ক (ক+১) x ১০০ + ২৫ ,
এখানে ক (ক+১) থাকার কারণেই নিয়মটা অমন হয়েছে- পরের সংখ্যা দিয়ে গুণ দাও! আর ১০০ দিয়ে গুণ দিয়ে ২৫ যোগ করার মানে শেষে ২৫ বসিয়ে দাও!
আমি যেভাবে এটা জানলাম তার কাহিনী:
আমি একদিন ভাবছিলাম, দুইটা সংখ্যার যোগফল ১২ হলে তাদেরকে গুণ করে সর্বোচ্চ কত বানানো যেতে পারে? দেখলাম, এটা হলো ৩৬ ।
গুণফল সবচেয়ে বেশি হবে যখন সংখ্যা দুইটা সমান, দুইটাই ৬ । .আমি যদি ৫ আর ৭ নিয়ে ভাবি এদেরকে, যোগ করলেও ১২ হয়, কিন্তু গুণ করলে হয় ৩৫। .আগের চেয়ে কম। ৪ আর ৮ নিলে হয় ৩২ আরও কম।
৬ আর ৬ যোগ করলে হয় ১২, গুণ করলে ৩৬
৫ আর ৭ যোগ করলে হয় ১২, গুণ করলে ৩৫
৪ আর ৮ যোগ করলে হয় ১২, গুণ করলে ৩২
৩ আর ৯ যোগ করলে হয় ১২, গুণ করলে ২৭
আর গিয়ে কী হবে, বুঝে গেছি এরপর আরও কমবে। এবার আরেকটা সংখ্যা নিয়ে ভাবতে গেলাম, দেখি, আমার ধারণা ঠিক কিনা। যোগফল ৩২ হলে তখন কী হবে? দেখলাম,
১৬ আর ১৬ যোগ করলে হয় ৩২, গুণ করলে ২৫৬
১৫ আর ১৭ যোগ করলে হয় ৩২, গুণ করলে ২৫৫
এবার আমার হঠাৎ খটকা লাগল- আমি বুঝলাম ২৫৬ এর চেয়ে বেশি হবে না, এরপর আগের মতই কমবে। কিন্তু যেটাতে খটকা লাগল তা হলো ১৫ আর ১৭ এর গুণফল ২৫৫, যা ২৫৬ এর চেয়ে এক কম। আগেরবার ৫ আর ৭ এর গুণফল ছিল ৩৫, যা ৩৬ এর এক কম।
আমি দেখলাম, ১৫ এর বর্গ হলো- ২২৫। আর ১৪ x ১৬ = ২২৪ ----> ২২৫ এর চেয়ে এক কম ! ১৮ এর বর্গ হলো ৩২৪ । আর ১৭ x ১৯ = ৩২৩ -----> ৩২৩ এর চেয়ে এক কম ! তার মানে, ১৮ এর আগেরটা আর পরেরটা গুণ করলে ১৮ এর বর্গের চেয়ে এক কম হবে! অর্থাৎ যেকোন দুই difference এর সংখ্যার গুণফল হবে মাঝখানেরটার বর্গের এক কম।
২৪ আর ২৬ গুণ করলে হবে ২৫ এর বর্গ বিয়োগ ১, মানে ৬২৫ - ১ = ৬২৪ . আমি খুশি হয়ে গেলাম, যেহেতু একটু একটু বর্গ করতে পারি, তাহলে এবার বড় বড় গুনও করা যাবে। কিন্তু মাথায় প্রশ্ন আসল এমন কেন হলো? তারপর দেখলাম, কারণটা মহা সোজা। ছোটবেলার সূত্র: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2
২৪ x ২৬ = (২৫ - ১) (২৫ + ১) = ২৫^২ - ১
তারপর মনে হলো, তাহলে তো এখন আমি আরও গুণ করতে পারি- যেমন ২৪৮ x ২৫২ দেখে ধুম করে বলে দিতে পারি এটা হবে ৬২৪৯৬ ।
কারণ- ২৪৮ x ২৫২ = (২৫০ - ২) (২৫০ + ২) = ২৫০^২- ২^২= ৬২৫০০ - ৪ = ৬২৪৯৬
বর্গ করতে পারলে বড় বড় গুণ করা যায়, এটা আমাকে চরম আনন্দ দিচ্ছিল । আমি অনেক সংখ্যা মুখে মুখে গুণ করতে পারছিলাম। হঠাৎ-ই আবার দুষ্টু বুদ্ধি চাপল- আচ্ছা, বর্গ জানা থাকলে যদি গুণ করা যায়, গুণফল জানা থাকলে বর্গ করা যায় না?
যেমন ৩০ x ৪০ এই গুণফলটা আমরা সহজেই জানি। এখান থেকে কিছু করা যায় না? এবং এটা ভাবতে গিয়েই আমি বুঝে ফেললাম শেষে ৫ থাকলে কিভাবে বর্গ করতে হয়। দেখ-
৩০ x ৪০ = (৩৫ + ৫) (৩৫ - ৫)
বা, ৩০ x ৪০ = ৩৫^২ - ২৫
বা, ৩৫^২= ৩০ x ৪০ + ২৫
৩৫ হলো ৩০ আর ৪০ এর মাঝামাঝি, তাই ৩৫ এর বর্গ ৩০ x ৪০ + ২৫ ।
এভাবে, ৬৫ হলো ৬০ আর ৭০ এর মাঝামাঝি, তাই ৬৫ এর বর্গ ৬০ x ৭০ + ২৫ = ৪২০০ + ২৫ = ৪২ ২৫।
আআহ! এভাবেই আমি এই মজার জিনিসটা শিখে গেলাম। পরে একদিন মনে হচ্ছিল, এই সহজ ব্যাপারটাকে এত ঘুরিয়ে শিখলাম কেন, যেসব সংখ্যার শেষে ৫ আছে , তাদেরকে নিয়ে বর্গ করে পর্যবেক্ষণ করলেই তো হত ! কিন্তু তখনই বুঝলাম এই চিন্তার ভুলটা! শেষে ৫ থাকলে সেগুলো থেকে একটা প্যাটার্ন আসবেই, এটা আমি আগে থেকে কিভাবে জানব ? আরেকটা দর্শনে আমি বিশ্বাস করি, যেই পথে আগে কয়েকবার গিয়েছি, সময় ও সুযোগ থাকলে আমি সেই চেনা পথ এড়িয়ে নতুন পথে যেতে চাই। আর যদি পুরনো পথেই যেতে হয়, তাহলে আগের থেকে আরও গভীরভাবে দেখতে দেখতে যেতে হবে। এমন না যে আমি অনেক কিছু জানি । তবে এটা নিশ্চিত যে, শেখার জন্য এই ধারণাটা খুব খারাপ না।
যাহোক, প্রিয় পাঁচ! আপাতত এটুকুই, ভালো থেকো তোমার বাচ্চাকাচ্চা নিয়ে।
